Introdução

Modelagem de séries temporais frequentemente exige a aplicação de transformações nas variáveis, tal como a bem conhecida primeira diferença. Formalmente, podemos descrever essa transformação como:

Ou seja, dado uma série temporal regularmente espaçada, subtraímos do valor em o valor anterior (), obtendo a série dita “na primeira diferença” ou “nas diferenças”. Note que a transformação implica na “perda” da primeira observação da série temporal, ou seja, a série na primeira diferença possuirá observações

A mudança de nível da série geralmente contorna diversas características “não desejadas” pelo analista como tendência, sazonalidade, etc., mas dificulta a interpretação dos valores - especialmente quando pretende-se comunicá-los para públicos não técnicos. Para este objetivo é de grande utilidade saber como diferenciar uma série temporal e, sobretudo, também como reverter a transformação.

Para reverter a primeira diferença de uma série utilizamos a soma cumulativa acrescentando a primeira observação da série original (em nível), conforme:

Ou seja, no final teremos um vetor com a soma de cada valor em com todos os anteriores, valores estes que neste caso podem representar a série na primeira diferença que se deseja reverter.

Exemplo no R

Para exemplificar, vamos aplicar um exercício simples no R, usando dados reais do nosso dia a dia, com o objetivo de:

  1. Tomar a primeira de uma série
  2. Reverter a transformação para obter a série original.

Para esse exemplo você precisará dos seguintes pacotes:

library(magrittr)   # CRAN v2.0.1
library(GetBCBData) # CRAN v0.6
library(dplyr)      # CRAN v1.0.7
library(timetk)     # CRAN v2.6.2
library(tsibble)    # CRAN v1.0.1
library(tidyr)      # CRAN v1.1.4

Utilizaremos uma série conhecidamente não estacionária: a série mensal da taxa de câmbio (R$/US$) nominal. Primeiro, importamos a série diretamente do banco de dados do Banco Central (SGS/BCB) e tratamos os dados para obter um tibble:

# Coleta da série temporal do Dólar no SGS/BCB
dados <- GetBCBData::gbcbd_get_series(
  id          = 3696, 
  first.date  = "2000-01-01",
  use.memoise = FALSE
  ) %>% 
  dplyr::select("date" = "ref.date", "value") %>% 
  dplyr::as_tibble()

# Resultado
dados

## # A tibble: 267 x 2
##    date       value
##    <date>     <dbl>
##  1 2000-01-01  1.80
##  2 2000-02-01  1.77
##  3 2000-03-01  1.75
##  4 2000-04-01  1.81
##  5 2000-05-01  1.83
##  6 2000-06-01  1.8 
##  7 2000-07-01  1.77
##  8 2000-08-01  1.82
##  9 2000-09-01  1.84
## 10 2000-10-01  1.91
## # ... with 257 more rows

Uma rápida visualização dos dados:

Para criar a série na primeira diferença usamos a função tsibble::difference1, com seus argumentos padrão:

dados %<>%
  dplyr::mutate(value_diff = tsibble::difference(value))
dados

## # A tibble: 267 x 3
##    date       value value_diff
##    <date>     <dbl>      <dbl>
##  1 2000-01-01  1.80    NA     
##  2 2000-02-01  1.77    -0.0339
##  3 2000-03-01  1.75    -0.0212
##  4 2000-04-01  1.81     0.0594
##  5 2000-05-01  1.83     0.0199
##  6 2000-06-01  1.8     -0.0266
##  7 2000-07-01  1.77    -0.0252
##  8 2000-08-01  1.82     0.0486
##  9 2000-09-01  1.84     0.0203
## 10 2000-10-01  1.91     0.0653
## # ... with 257 more rows

Quando a diferença é aplicada inevitavelmente perdemos uma observação (a primeira), sendo preenchida no objeto como um NA. Sendo assim, a reversão dessa série para o seu nível (valores originais) pode ser feita da seguinte forma: devemos substituir o valor NA pelo valor original da série correspondente a esse período dos dados e, então, usar a função cumsum() para calcular a soma cumulativa.

dados %<>%
  dplyr::mutate(
    value_diff   = dplyr::if_else(is.na(value_diff), value, value_diff),
    value_revert = cumsum(value_diff)
    )
dados

## # A tibble: 267 x 4
##    date       value value_diff value_revert
##    <date>     <dbl>      <dbl>        <dbl>
##  1 2000-01-01  1.80     1.80           1.80
##  2 2000-02-01  1.77    -0.0339         1.77
##  3 2000-03-01  1.75    -0.0212         1.75
##  4 2000-04-01  1.81     0.0594         1.81
##  5 2000-05-01  1.83     0.0199         1.83
##  6 2000-06-01  1.8     -0.0266         1.8 
##  7 2000-07-01  1.77    -0.0252         1.77
##  8 2000-08-01  1.82     0.0486         1.82
##  9 2000-09-01  1.84     0.0203         1.84
## 10 2000-10-01  1.91     0.0653         1.91
## # ... with 257 more rows

Checando se a série revertida corresponde aos valores originais:

identical(dados$value_revert, dados$value)

## [1] TRUE

Os cálculos ocorreram conforme o esperado: a série original da taxa de câmbio importada do BCB é igual à série que aplicamos e revertemos a primeira diferença.

Simples, não?

Por fim, vale comparar visualmente o comportamento da série em nível e na diferença:

1 Para um equivalente em base R veja a documentação de diff no R.